Пьер Ферма, читая «Арифметику» Диофанта Александрийского и размышляя над её задачами, имел привычку записывать на полях книги результаты своих размышлений в виде кратких замечаний. Против восьмой задачи Диофанта на полях книги, Ферма записал: «Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата, и, вообще, никакую степень, большую квадрата на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки » /Э.Т.Белл «Творцы математики». М.,1979, стр.69 /. Предлагаю Вашему вниманию элементарное доказательство теоремы ферма, которое может понять любой старшеклассник, увлекающийся математикой.

Сравним комментарий Ферма к задаче Диофанта с современной формулировкой великой теоремы Ферма, имеющей вид уравнения.
«Уравнение

x n + y n = z n (где n – целое число большее двух)

не имеет решений в целых положительных числах »

Комментарий находится с задачей в логической связи, аналогичной логической связи сказуемого с подлежащим. То, что утверждается задачей Диофанта, наоборот утверждается комментарием Ферма.

Комментарий Ферма можно так трактовать: если квадратное уравнение с тремя неизвестными имеет бесконечное множество решений на множестве всех троек пифагоровых чисел, то, наоборот, уравнение с тремя неизвестными в степени, большей квадрата

В уравнении нет даже намека на его связь с задачей Диофанта. Его утверждение требует доказательства, но при нём нет условия, из которого следует, что оно не имеет решений в целых положительных числах.

Известные мне варианты доказательства уравнения сводятся к следующему алгоритму.

1. Уравнение теоремы Ферма принимается за её заключение, в справедливости которого убеждаются при помощи доказательства.
2. Это же уравнение называют исходным уравнением, из которого должно исходить его доказательство.

В результате образовалась тавтология: «Если уравнение не имеет решений в целых положительных числах, то оно не имеет решений в целых положительных числах ».Доказательство тавтологии заведомо является неправильным и лишенным всякого смысла. Но её доказывают методом от противного.

• Принимается предположение, противоположное тому, что утверждается уравнением, которое требуется доказать. Оно не должно противоречить исходному уравнению, а оно ему противоречит. Доказывать то, что принято без доказательства, и принимать без доказательства то, что требуется доказать, не имеет смысла.
• На основании принятого предположения выполняются абсолютно правильные математические операции и действия, чтобы доказать, что оно противоречит исходному уравнению и является ложным.

Поэтому вот уже 370 лет доказательство уравнения великой теоремы Ферма остаётся неосуществимой мечтой специалистов и любителей математики.

Я принял уравнение за заключение теоремы, а восьмую задачу Диофанта и её уравнение — за условие теоремы.

«Если уравнение x 2 + y 2 = z 2 (1) имеет бесконечное множество решений на множестве всех троек пифагоровых чисел, то, наоборот, уравнение x n + y n = z n , где n > 2 (2) не имеет решений на множестве целых положительных чисел.»

Доказательство.

А) Всем известно, что уравнение (1) имеет бесконечное множество решений на множестве всех троек пифагоровых чисел. Докажем, что ни одна тройка пифагоровых чисел, являющаяся решением уравнения (1), не является решением уравнения (2).

На основании закона обратимости равенства, стороны уравнения (1) поменяем местами. Пифагоровы числа (z, х, у ) могут быть истолкованы как длины сторон прямоугольного треугольника, а квадраты ( x 2 , y 2 , z 2 ) могут быть истолкованы как площади квадратов, построенных на его гипотенузе и катетах.

Площади квадратов уравнения (1) умножим на произвольную высоту h :

z 2 h = x 2 h + y 2 h (3)

Уравнение (3) можно трактовать как равенство объема параллелепипеда сумме объёмов двух параллелепипедов.

Пусть высота трех параллелепипедов h = z :

z 3 = x 2 z + y 2 z (4)

Объем куба разложился на два объема двух параллелепипедов. Объём куба оставим без изменений, а высоту первого параллелепипед уменьшим до x и высоту второго параллелепипеда уменьшим до y . Объём куба больше суммы объёмов двух кубов:

z 3 > x 3 + y 3 (5)

На множестве троек пифагоровых чисел (х, у, z ) при n = 3 не может быть ни одного решения уравнения (2). Следовательно, на множестве всех троек пифагоровых чисел невозможно куб разложить на два куба.

Пусть в уравнении (3) высота трёх параллелепипедов h = z 2 :

z 2 z 2 = x 2 z 2 + y 2 z 2 (6)

Объем параллелепипеда разложился на сумму объёмов двух параллелепипедов.
Левую сторону уравнения (6) оставим без изменения. На правой его стороне высоту z 2 уменьшим до х в первом слагаемом и до у 2 во втором слагаемом.

Уравнение (6) обратилось в неравенство:

Объем параллелепипеда разложился на два объема двух параллелепипедов.

Левую сторону уравнения (8) оставим без изменения.
На правой стороне высоту z n-2 уменьшим до x n-2 в первом слагаемом и уменьшим до y n-2 во втором слагаемом. Уравнение (8) обращается в неравенство:

z n > x n + y n

(9)

На множестве троек пифагоровых чисел не может быть ни одного решения уравнения (2).

Следовательно, на множестве всех троек пифагоровых чисел при всех n > 2 уравнение (2) не имеет решений.

Получено «постине чудесное доказательство», но только для троек пифагоровых чисел . В этом заключается недостаток доказательства и причина отказа П. Ферма от него.

B) Докажем, что уравнение (2) не имеет решений на множестве троек непифагоровых чисел, представляющем сбой семейство произвольно взятой тройки пифагоровых чисел z = 13, x = 12, y = 5 и семейство произвольно взятой тройки целых положительных чисел z = 21, x = 19, y = 16

Обе тройки чисел являются членами своих семейств:

	(13, 12, 12); (13, 12,11);…; (13, 12, 5) ;…; (13,7, 1);…; (13,1, 1)	(10)
	(21, 20, 20); (21, 20, 19);…;(21, 19, 16);…;(21, 1, 1)	(11)

Число членов семейства (10) и (11) равно половине произведения 13 на 12 и 21 на 20, т. е. 78 и 210.

В каждом члене семейства (10) присутствует z = 13 и переменные х и у 13 > x > 0 , 13 > y > 0 1

В каждом члене семейства (11) присутствует z = 21 и переменные х и у , которые принимают значения целых чисел 21 > x >0 , 21 > y > 0 . Переменные последовательно убывают на 1 .

Тройки чисел последовательности (10) и (11) можно представить в виде последовательности неравенств третьей степени:

	13 3 < 12 3 + 12 3 ;13 3 < 12 3 + 11 3 ;…; 13 3 < 12 3 + 8 3 ; 13 3 > 12 3 + 7 3 ;…; 13 3 > 1 3 + 1 3
	21 3 < 20 3 + 20 3 ; 21 3 < 20 3 + 19 3 ; …; 21 3 < 19 3 + 14 3 ; 21 3 > 19 3 + 13 3 ;…; 21 3 > 1 3 + 1 3

и в виде неравенств четвертой степени:

	13 4 < 12 4 + 12 4 ;…; 13 4 < 12 4 + 10 4 ; 13 4 > 12 4 + 9 4 ;…; 13 4 > 1 4 + 1 4
	21 4 < 20 4 + 20 4 ; 21 4 < 20 4 + 19 4 ; …; 21 4 < 19 4 + 16 4 ;…; 21 4 > 1 4 + 1 4

Правильность каждого неравенства удостоверяется возвышением чисел в третью и в четвертую степень.

Куб большего числа невозможно разложить на два куба меньших чисел. Он или меньше, или больше, суммы кубов двух меньших чисел.

Биквадрат большего числа невозможно разложить на два биквадрата меньших чисел. Он или меньше, или больше, суммы биквадратов меньших чисел.

С возрастанием показателя степени все неравенства, кроме левого крайнего неравенства, имеют одинаковый смысл:

Неравенств они все имеют одинаковый смысл: степень большего числа больше суммы степеней меньших двух чисел с тем же показателем:

	13 n > 12 n + 12 n ; 13 n > 12 n + 11 n ;…; 13 n > 7 n + 4 n ;…; 13 n > 1 n + 1 n	(12)
	21 n > 20 n + 20 n ; 21 n > 20 n + 19 n ;…; ;…; 21 n > 1 n + 1 n	(13)

Левый крайний член последовательностей (12) (13) представляет собой наиболее слабое неравенство. Его правильность определяет правильность всех последующих неравенств последовательности (12) при n > 8 и последовательности (13) при n > 14 .

Среди них не может быт ни одного равенства. Произвольно взятая тройка целых положительных чисел (21,19,16) не является решением уравнения (2) великой теоремы Ферма. Если произвольно взятая тройка целых положительных чисел не является решением уравнения, то уравнение не имеет решений на множестве целых положительных чисел, что и требовалось доказать.

С) В комментарии Ферма к задаче Диофанта утверждается, что невозможно разложить «вообще, никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем ».

Целую степень, большую квадрата, действительно невозможно разложить на две степени с тем же показателем. Нецелую степень, большую квадрата можно разложить на две степени с тем же показателем.

Любая произвольно взятая тройка целых положительных чисел (z, x, y) может принадлежать семейству, каждый член которого состоит из постоянного числа z и двух чисел, меньших z . Каждый член семейства может быть представлен в форме неравенства, а все полученные неравенства — в виде последовательности неравенств:

z n < (z — 1) n + (z — 1) n ; z n < (z — 1) n + (z — 2) n ; …; z n > 1 n + 1 n

(14)

Последовательность неравенств (14) начинается неравенствами, у которых левая сторона меньше правой стороны, а оканчивается неравенствами, у которых правая сторона меньше левой стороны. С возрастанием показателя степени n > 2 число неравенств правой стороны последовательности (14) увеличивается. При показателе степени n = k все неравенства левой стороны последовательности изменяют свой смысл и принимают смысл неравенств правой стороны неравенств последовательности (14). В результате возрастания показателя степени у всех неравенств левая сторона оказывается больше правой стороны:

z k > (z-1) k + (z-1) k ; z k > (z-1) k + (z-2) k ;…; z k > 2 k + 1 k ; z k > 1 k + 1 k

(15)

При дальнейшем возрастании показателя степени n > k ни одно из неравенств не изменяет своего смысла и не обращается в равенство. На этом основании можно утверждать, что любая произвольно взятая тройка целых положительных чисел (z, x, y) при n > 2 , z > x , z > y

В произвольно взятой тройке целых положительных чисел z может быть сколь угодно большим натуральным числом. Для всех натуральных чисел, которые не больше z , большая теорема Ферма доказана.

D) Каким бы ни было большим число z , в натуральном ряду чисел до него имеется большое, но конечное множество целых чисел, а после него – бесконечное множество целых чисел.

Докажем, что все бесконечное множество натуральных чисел, больших z , образуют тройки чисел, которые не являются решениями уравнения большой теоремы Ферма, например, произвольно взятая тройка целых положительных чисел (z + 1, x ,y) , в которой z + 1 > x и z + 1 > y при всех значениях показателя степени n > 2 не является решением уравнения большой теоремы Ферма.

Произвольно взятая тройка целых положительных чисел (z + 1, x, y) может принадлежать семейству троек чисел, каждый член которого состоят из постоянного числа z + 1 и двух чисел х и у , принимающих различные значения, меньшие z + 1 . Члены семейства могут быть представлены в форме неравенств, у которых постоянная левая сторона меньше, или больше, правой стороны. Неравенства можно упорядоченно расположить в виде последовательности неравенств:

При дальнейшем возрастании показателя степени n > k до бесконечности ни одно из неравенств последовательности (17) не изменяет своего смысла и не обращается в равенство. В последовательности (16) неравенство, образованное из произвольно взятой тройки целых положительных чисел (z + 1, x, y) , может находиться в её правой части в виде (z + 1) n > x n + y n или находиться в её левой части в виде (z + 1) n < x n + y n .

В любом случае тройка целых положительных чисел (z + 1, x, y) при n > 2 , z + 1 > x , z + 1 > y в последовательности (16) представляет собой неравенство и не может представлять собой равенства, т. е. не может представлять собой решения уравнения большой теоремы Ферма.

Легко и просто понять происхождение последовательности степенных неравенств (16), в которой последнее неравенство левой стороны и первое неравенство правой стороны являются неравенствами противоположного смысла. Наоборот, нелегко и непросто школьникам, старшекласснику и старшекласснице, понять, каким образом из последовательности неравенств (16) образуется последовательность неравенств (17), в которой все неравенства одинакового смысла.

В последовательности (16) увеличение целой степени неравенств на 1 единицу обращает последнее неравенство левой стороны в первое неравенство противоположного смысла правой стороны. Таким образом, количество неравенств девой стороны последовательности уменьшается, а количество неравенств правой стороны увеличивается. Между последним и первым степенными неравенствами противоположного смысла в обязательном порядке находится степенное равенство. Его степень не может быть целым числом, так как между двумя последовательными натуральными числами находятся только нецелые числа. Степенное равенство нецелой степени, по условию теоремы, не может считаться решением уравнения (1).

Если в последовательности (16) продолжать увеличение степени на 1 единицу, то последнее неравенство её левой стороны обратится в первое неравенство противоположного смысла правой стороны. В результате не останется ни одного неравенства левой стороны и останутся только неравенства правой стороны, которые представят собой последовательность усиливающихся степенных неравенств (17). Дальнейшее увеличение их целой степени на 1 единицу лишь усиливает её степенные неравенства и категорически исключает возможность появления равенства в целой степени.

Следовательно, вообще, никакую целую степень натурального числа (z+1) последовательности степенных неравенств (17) невозможно разложить на две целых степени с тем же показателем. Поэтому уравнение (1) не имеет решений на бесконечном множестве натуральных чисел, что и требовалось доказать.

Следовательно, большая теорема Ферма доказана во всей всеобщности:

• в разделе А) для всех троек (z, x, y) пифагоровых чисел (открытое Ферма поистине чудесное доказательство),
• в разделе В) для всех членов семейства любой тройки (z, x, y) пифагоровых чисел,
• в разделе С) для всех троек чисел (z, x, y) , не больших числа z
• в разделе D) для всех троек чисел (z, x, y) натурального ряда чисел.

Изменения внесены 05.09.2010 г.

Какие теоремы можно и какие нельзя доказать от противного

В толковом словаре математических терминов дано определение доказательству от противного теоремы, противоположной обратной теореме.

«Доказательство от противного – метод доказательства теоремы (предложения), состоящий в том, что доказывают не саму теорему, а ей равносильную (эквивалентную), противоположную обратной (обратную противоположной) теорему. Доказательство от противного используют всякий раз, когда прямую теорему доказать трудно, а противоположную обратной легче. При доказательстве от противного заключение теоремы заменяется её отрицанием, и путём рассуждения приходят к отрицанию условия, т.е. к противоречию, к противному (противоположному тому, что дано; это приведение к абсурду и доказывает теорему».

Доказательство от противного очень часто применяется в математике. Доказательство от противного основано на законе исключённого третьего, заключающегося в том, что из двух высказываний (утверждений) А и А (отрицание А) одно из них истинно, а другое ложно». /Толковый словарь математических терминов: Пособие для учителей/О. В. Мантуров [и др.]; под ред. В. А. Диткина.- М.: Просвещение, 1965.- 539 с.: ил.-C.112/.

Не лучше было бы открыто заявить о том, что метод доказательства от противного не является математическим методом, хотя и используется в математике, что он является логическим методом и принадлежит логике. Допустимо ли утверждать, что доказательство от противного «используют всякий раз, когда прямую теорему доказать трудно», когда на самом деле его используют тогда, и только тогда, когда ему нет замены.

Заслуживает особого внимания и характеристика отношения друг к другу прямой и обратной ей теорем. «Обратная теорема для данной теоремы (или к данной теореме) — теорема, в которой условием является заключение, а заключением – условие данной теоремы. Данная теорема по отношению к обратной теореме называется прямой теоремой (исходной). В то же время обратная теорема к обратной теореме будет данной теоремой; поэтому прямая и обратная теоремы называются взаимно обратными. Если прямая (данная) теорема верна, то обратная теорема не всегда верна. Например, если четырёхугольник – ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны (прямая теорема). Если в четырёхугольнике диагонали взаимно перпендикулярны, то четырёхугольник есть ромб – это неверно, т. е. обратная теорема неверна». /Толковый словарь математических терминов: Пособие для учителей/О. В. Мантуров [и др.]; под ред. В. А. Диткина.- М.: Просвещение, 1965.- 539 с.: ил.-C.261 /.

Данная характеристика отношения прямой и обратной теорем не учитывает того, что условие прямой теоремы принимается как данное, без доказательства, так что его правильность не имеет гарантии. Условие обратной теоремы не принимается как данное, так как оно является заключением доказанной прямой теоремы. Его правильность засвидетельствована доказательством прямой теоремы. Это существенное логическое различие условий прямой и обратной теорем оказывается решающим в вопросе какие теоремы можно и какие нельзя доказать логическим методом от противного.

Допустим, что на примете имеется прямая теорема, которую доказать обычным математическим методом можно, но трудно. Сформулируем её в общем виде в краткой форме так: из А следует Е . Символ А имеет значение данного условия теоремы, принятого без доказательства. Символ Е имеет значение заключения теоремы, которое требуется доказать.

Доказывать прямую теорему будем от противного, логическим методом. Логическим методом доказывается теорема, которая имеет не математическое условие, а логическое условие. Его можно получить, если математическое условие теоремы из А следует Е , дополнить прямо противоположным условием из А не следует Е .

В результате получилось логическое противоречивое условие новой теоремы, заключающее в себе две части: из А следует Е и из А не следует Е . Полученное условие новой теоремы соответствует логическому закону исключённого третьего и соответствует доказательству теоремы методом от противного.

Согласно закону, одна часть противоречивого условия является ложной, другая его часть является истинной, а третье – исключено. Доказательство от противного имеет совей задачей и целью установить, именно какая часть из двух частей условия теоремы является ложной. Как только будет определена ложная часть условия, так будет установлено, что другая часть является истинной частью, а третье — исключено.

Согласно толковому словарю математических терминов, «доказательство есть рассуждение, в ходе которого устанавливается истинность или ложность какого-либо утверждения (суждения, высказывания, теоремы)» . Доказательство от противного есть рассуждение, в ходе которого устанавливается ложность (абсурдность) заключения, вытекающего из ложного условия доказываемой теоремы.

Дано: из А следует Е и из А не следует Е .

Доказать: из А следует Е .

Доказательство : Логическое условие теоремы заключает в себе противоречие, которое требует своего разрешения. Противоречие условия должно найти своё разрешение в доказательстве и его результате. Результат оказывается ложным при безупречном и безошибочном рассуждении. Причиной ложного заключения при логически правильном рассуждении может быть только противоречивое условие: из А следует Е и из А не следует Е .

Нет и тени сомнения в том, что одна часть условия является ложной, а другая в этом случае является истинной. Обе части условия имеют одинаковое происхождение, приняты как данные, предположенные, одинаково возможные, одинаково допустимые и т. д. В ходе логического рассуждения не обнаружено ни одного логического признака, который отличал бы одну часть условия от другой. Поэтому в одной и той же мере может быть из А следует Е и может быть из А не следует Е . Утверждение из А следует Е может быть ложным , тогда утверждение из А не следует Е будет истинным. Утверждение из А не следует Е может быть ложным, тогда утверждение из А следует Е будет истинным.

Следовательно, прямую теорему методом от противного доказать невозможно.

Теперь эту же прямую теорему докажем обычным математическим методом.

Дано: А .

Доказать: из А следует Е .

Доказательство.

1. Из А следует Б

2. Из Б следует В (по ранее доказанной теореме)).

3. Из В следует Г (по ранее доказанной теореме).

4. Из Г следует Д (по ранее доказанной теореме).

5. Из Д следует Е (по ранее доказанной теореме).

На основании закона транзитивности, из А следует Е . Прямая теорема доказана обычным методом.

Пусть доказанная прямая теорема имеет правильную обратную теорему: из Е следует А .

Докажем её обычным математическим методом. Доказательство обратной теоремы можно выразить в символической форме в виде алгоритма математических операций.

Дано: Е

Доказать: из Е следует А .

Доказательство.

1. Из Е следует Д

2. Из Д следует Г (по ранее доказанной обратной теореме).

3. Из Г следует В (по ранее доказанной обратной теореме).

4. Из В не следует Б (обратная теорема неверна). Поэтому и из Б не следует А .

В данной ситуации продолжать математическое доказательство обратной теоремы не имеет смысла. Причина возникновения ситуации – логическая. Неверную обратную теорему ничем заменить невозможно. Следовательно, данную обратную теорему доказать обычным математическим методом невозможно. Вся надежда – на доказательство данной обратной теоремы методом от противного.

Чтобы её доказать методом от противного, требуется заменить её математическое условие логическим противоречивым условием, заключающим в себе по смыслу две части – ложную и истинную.

Обратная теорема утверждает: из Е не следует А . Её условие Е , из которое следует заключение А , является результатом доказательства прямой теоремы обычным математическим методом. Это условие необходимо сохранить и дополнить утверждением из Е следует А . В результате дополнения получается противоречивое условие новой обратной теоремы: из Е следует А и из Е не следует А . Исходя из этого логически противоречивого условия, обратную теорему можно доказать посредством правильного логического рассуждения только, и только, логическим методом от противного. В доказательстве от противного любые математические действия и операции подчинены логическим и поэтому в счёт не идут.

В первой части противоречивого утверждения из Е следует А условие Е было доказано доказательством прямой теоремы. Во второй его части из Е не следует А условие Е было предположено и принято без доказательства. Какое-то из них одно является ложным, а другое – истинным. Требуется доказать, какое из них является ложным.

Доказываем посредством правильного логического рассуждения и обнаруживаем, что его результатом является ложное, абсурдное заключение. Причиной ложного логического заключения является противоречивое логическое условие теоремы, заключающее в себе две части – ложную и истинную. Ложной частью может быть только утверждение из Е не следует А , в котором Е было принято без доказательства. Именно этим оно отличается от Е утверждения из Е следует А , которое доказано доказательством прямой теоремы.

Следовательно, истинным является утверждение: из Е следует А , что и требовалось доказать.

Вывод : логическим методом от противного доказывается только та обратная теорема, которая имеет доказанную математическим методом прямую теорему и которую математическим методом доказать невозможно.

Полученный вывод приобретает исключительное по важности значение в отношении к методу доказательства от противного великой теоремы Ферма. Подавляющее большинство попыток её доказать имеет в своей основе не обычный математический метод, а логический метод доказательства от противного. Доказательство большой теоремы Ферма Уайлса не является исключением.

Дмитрий Абраров в статье «Теорема Ферма: феномен доказательств Уайлса» опубликовал комментарий к доказательству большой теоремы Ферма Уайлсом. По Абрарову, Уайлс доказывает большую теорему Ферма с помощью замечательной находки немецкого математика Герхарда Фрея (р. 1944), связавшего потенциальное решение уравнения Ферма x n + y n = z n , где n > 2 , с другим, совершенно непохожим на него, уравнением. Это новое уравнение задаётся специальной кривой (названной эллиптической кривой Фрея). Кривая Фрея задаётся уравнением совсем несложного вида:
.

«А именно Фрей сопоставил всякому решению (a, b, c) уравнение Ферма, то есть числам, удовлетворяющим соотношению a n + b n = c n , указанную выше кривую. В этом случае отсюда следовала бы великая теорема Ферма». (Цитата по: Абраров Д. «Теорема Ферма: феномен доказательств Уайлса»)

Другими словами, Герхард Фрей предположил, что уравнение большой теоремы Ферма x n + y n = z n , где n > 2 , имеет решения в целых положительных числах. Этими же решения являются, по предположению Фрея, решениями его уравнения
y 2 + x (x — a n) (y + b n) = 0 , которое задаётся его эллиптической кривой.

Эндрю Уайлс принял эту замечательную находку Фрея и с её помощью посредством математического метода доказал, что этой находки, то есть эллиптической кривой Фрея, не существует. Поэтому не существует уравнения и его решений, которые задаются несуществующей эллиптической кривой, Поэтому Уайлсу следовало бы принять вывод о том, что не существует уравнения большой теоремы Ферма и самой теоремы Ферма. Однако им принимается более скромное заключение том, что уравнение большой теоремы Ферма не имеет решений в целых положительных числах.

Неопровержимым фактом может являться то, что Уайлсом принято предположение, прямо противоположное по смыслу тому, что утверждается большой теоремой Ферма. Оно обязывает Уайлса доказывать большую теорему Ферма методом от противного. Последуем и мы его примеру и посмотрим, что из этого примера получается.

В большой теореме Ферма утверждается, что уравнение, x n + y n = z n , где n > 2 , не имеет решений в целых положительных числах.

Согласно логическому методу доказательства от противного, это утверждение сохраняется, принимается как данное без доказательства, и затем дополняется противоположным по смыслу утверждением: уравнение x n + y n = z n , где n > 2 , имеет решения в целых положительных числах.

Предположенное утверждение так же принимается как данное, без доказательства. Оба утверждения, рассматриваемые с точки зрения основных законов логики, являются одинаково допустимыми, равноправными и одинаково возможными. Посредством правильного рассуждения требуется установить, именно какое из них является ложным, чтобы затем установить, что другое утверждение является истинным.

Правильное рассуждение завершается ложным, абсурдным заключением, логической причиной которого может быть только противоречивое условие доказываемой теоремы, заключающее в себе две части прямо противоположного смысла. Они и явились логической причиной абсурдного заключения, результата доказательства от противного.

Однако в ходе логически правильного рассуждения не было обнаружено ни одного признака, по которому можно было бы установить, какое именно утверждение является ложным. Им может быть утверждение: уравнение x n + y n = z n , где n > 2 , имеет решений в целых положительных числах. На этом же основании им может быть утверждение: уравнение x n + y n = z n , где n > 2 , не имеет решений в целых положительных числах.

В итоге рассуждения вывод может быть только один: большую теорему Ферма методом от противного доказать невозможно .

Было бы совсем другое дело, если бы большая теорема Ферма была обратной теоремой, которая имеет прямую теорему, доказанную обычным математическим методом. В этом случае её можно было доказать от противного. А так как она является прямой теоремой, то её доказательство должно иметь в своей основе не логический метод доказательства от противного, а обычный математический метод.

По словам Д. Абрарова, самый известный из современных российских математиков академик В. И. Арнольд на доказательство Уайлса отреагировал «активно скептически». Академик заявил: «это не настоящая математика – настоящая математика геометрична и сильна связями с физикой».(Цитата по: Абраров Д. «Теорема Ферма: феномен доказательств Уайлса». Заявление академика выражает самую сущность нематематического доказательства Уайлса большой теоремы Ферма.

Методом от противного невозможно доказать ни того, что уравнение большой теоремы Ферма не имеет решений, ни того, что оно имеет решения. Ошибка Уайлса не математическая, а логическая — использование доказательства от противного там, где его использование не имеет смысла и большой теоремы Ферма не доказывает.

Не доказывается большая теорема Ферма и с помощью обычного математического метода, если в ней дано: уравнение x n + y n = z n , где n > 2 , не имеет решений в целых положительных числах, и если в ней требуется доказать: уравнение x n + y n = z n , где n > 2 , не имеет решений в целых положительных числах. В такой форме имеется не теорема, а тавтология, лишённая смысла.

Примечание. Моё доказательство БТФ обсуждалось на одном из форумов. Один из участников Trotil, специалист в теории чисел, сделал следующее авторитетное заявление под названием: «Краткий пересказ того, что сделал Миргородский». Привожу его дословно:

«А. Он доказал, что если z 2 = x 2 + y , то z n > x n + y n . Это хорошо известный и вполне очевидный факт.

В. Он взял две тройки — пифагорову и не пифагорову и показал простым перебором, что для конкретного, определённого семейства троек (78 и 210 штук) БТФ выполняется (и только для него).

С. А затем автором опущен тот факт, что из < в последующей степени может оказаться = , а не только > . Простой контрпример — переход n = 1 в n = 2 в пифагоровой тройке.

D. Этот пункт ничего существенного в доказательство БТФ не вносит. Вывод: БТФ не доказана».

Рассмотрю его заключение по пунктам.

А. В нём доказана БТФ для всего бесконечного множества троек пифагоровых чисел. Доказана геометрическим методом, который, как я полагаю, мной не открыт, а переоткрыт. А открыт он был, как я полагаю, самим П. Ферма. Именно его мог иметь в виду Ферма, когда писал:

«Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки». Данное моё предположение основано на том, что в задаче Диофанта, против которой, на полях книги, писал Ферма, речь идёт о решениях диофантова уравнения, которыми являются тройки пифагоровых чисел.

Бесконечное множество троек пифагоровых чисел является решениями диофатова уравнения, а в теореме Ферма, наоборот, ни одно из решений не может быть решением уравнения теоремы Ферма. И к этому факту поистине чудесное доказательство Ферма имеет непосредственное отношение. Позже Ферма мог распространить свою теорему на множество всех натуральных чисел. На множестве всех натуральных чисел БТФ не относится к «множеству исключительно красивых теорем». Это — моё предположение, которое ни доказать, ни опровергнуть невозможно. Его можно и принимать и отвергать.

В. В данном пункте мной доказывается, что как семейство произвольно взятой пифагоровой тройки чисел, так и семейство произвольно взятой не пифагоровой тройки чисел БТФ выполняется, Это — необходимое, но недостаточное и промежуточное звено в моём доказательстве БТФ. Взятые мной примеры семейства тройки пифагоровых чисел и семейства тройки не пифагоровых чисел имеют значение конкретных примеров, предполагающих и не исключающих существование аналогичных других примеров.

Утверждение Trotil, что я «показал простым перебором, что для конкретного, определённого семейства троек (78 и 210 штук) БТФ выполняется (и только для него) лишено основания. Он не может опровергнуть того факта, что я с таким же успехом могу взять другие примеры пифагоровой и не пифагоровой тройки для получения конкретного определённого семейства одной и другой тройки.

Какую пару троек я ни взял бы, проверка их пригодности для решения задачи может быть осуществлена, на мой взгляд, только методом «простого перебора». Какой-то другой метод мне не известен и не требуется. Если он пришёлся не по вкусу Trotil, то ему следовало бы предложить другой метод, чего он не делает. Не предлагая ничего взамен, осуждать «простой перебор», который в данном случае незаменим, некорректно.

С. Мною опущено = между < и < на основании того, что в доказательстве БТФ рассматривается уравнение z 2 = x 2 + y (1), в котором степень n > 2 — целое положительное число. Из равенства, находящегося между неравенствами следует обязательное рассмотрение уравнения (1) при нецелом значении степени n > 2 . Trotil, считая обязательным рассмотрение равенства между неравенствами, фактически считает необходимым в доказательстве БТФ рассмотрение уравнения (1) при нецелом значении степени n > 2 . Я это сделал для себя и обнаружил, что уравнение (1) при нецелом значении степени n > 2 имеет решением тройку чисел: z, (z-1), (z-1) при нецелом показателе степени.

Лекция 6. Применение производных к исследованию функций

Если функция f (x ) имеет производную в каждой точке отрезка [а , b ], то ее поведение можно исследовать с помощью производной f" (х ).

Рассмотрим основные теоремы дифференциального исчисления, лежащие в основе приложений производной.

Теорема Ферма

Теорема (Ферма) (о равенстве нулю производной ). Если функция f (x ), дифференцируема на интервале (a , b ) и достигает наибольшего или наименьшего значения в точке с є (a , b ), тогда производная функции в этой точке равна нулю , т.е. f" (с ) = 0.

Доказательство . Пусть функция f (x ) дифференцируема на интервале (a , b ) и в точке х = с принимает наибольшее значение M при с є (a , b ) (рис. 1), т.е.

f (с ) ≥ f (x ) или f (x ) – f (c ) ≤ 0 или f (с + Δх ) – f (с ) ≤ 0.

Производная f" (x ) в точке х = с : .

Если x > c , Δх > 0 (т.е. Δх → 0 справа от точки с ), то и поэтому f" (с ) ≤ 0.

Если x < с , Δх < 0 (т.е. Δх → 0 слева от точки с ), то , откуда следует, что f" (с ) ≥ 0.

По условию f (x ) дифференцируема в точке с , следовательно, ее предел при x → с не зависит от выбора направления приближения аргумента x к точке с , т.е. .

Получаем систему , из которой следует f" (с ) = 0.

В случае, когда f (с ) = т (т.е. f (x ) принимает в точке с наименьшее значение), доказательство аналогичное. Теорема доказана.

Геометрический смысл теоремы Ферма : в точке наибольшего или наименьшего значения, достигаемого внутри промежутка, касательная к графику функции параллельна оси абсцисс.

Что премию Абеля в 2016 году получит Эндрю Уайлз за доказательство гипотезы Таниямы-Шимуры для полустабильных эллиптических кривых и следующее из этой гипотезы доказательство великой теоремы Ферма. В настоящее время премия составляет 6 миллионов норвежских крон, то есть примерно 50 миллионов рублей. По словам Уайлса, присуждение премии стало для него «полной неожиданностью».

Теорема Ферма, доказанная более 20 лет назад, до сих пор привлекает внимание математиков. Отчасти, это связано с ее формулировкой, которая понятна даже школьнику: доказать, что для натуральных n>2 не существует таких троек целых ненулевых чисел, что a n + b n = c n . Это выражение Пьер Ферма записал на полях «Арифметики» Диофанта, снабдив замечательной подписью «Я нашёл этому поистине чудесное доказательство [этого утверждения], но поля книги слишком узки для него». В отличие от большинства математических баек, эта - настоящая.

Вручение премии - прекрасный повод вспомнить десять занимательных историй, связанных с теоремой Ферма.

1.

До того, как Эндрю Уайлз доказал теорему Ферма, ее правильнее было называть гипотезой, то есть гипотезой Ферма. Дело в том, что теорема - это по определению уже доказанное утверждение. Однако, почему-то к этому утверждению приклеилось именно такое название.

2.

Если в теореме Ферма положить n = 2, то у такого уравнения существует бесконечно много решений. Эти решения называются «пифагоровы тройки». Такое название они получили потому, что им соответствуют прямоугольные треугольники, стороны которых выражаются именно такими наборами чисел. Генерировать пифагоровы тройки можно с помощью таких вот трех формул (m 2 - n 2 , 2mn, m 2 + n 2). В эти формулы надо подставлять разные значения m и n, и в результате будут получаться нужные нам тройки. Главное тут, впрочем, убедиться, что полученные числа будут больше нуля - длины не могут выражаться отрицательными числами.

Кстати, легко заметить, что если все числа в пифагоровой тройке умножить на некоторое ненулевое, получится новая пифагорова тройка. Поэтому разумно изучать тройки, в которых у трех чисел в совокупности нет общего делителя. Схема, которую мы описали, позволяет получить все такие тройки - это уже совсем не простой результат.

3.

1 марта на 1847 года заседании Парижской академии наук сразу два математика - Габриэль Ламе и Огюстен Коши - объявили, что находятся на пороге доказательства замечательной теоремы. Они устроили гонку, публикуя кусочки доказательства. Большинство академиков болело за Ламе, поскольку Коши был самодовольным, нетерпимым к чужому мнению религиозным фанатиком (и, разумеется, совершенно блестящим математиком по совместительству). Однако, матчу не суждено было завершиться - через своего друга Жозефа Лиувилля немецкий математик Эрнст Куммер сообщил академикам, что в доказательствах Коши и Ламе есть одна и та же ошибка.

В школе доказывается, что разложение числа на простые множители единственно. Оба математика полагали, что если смотреть на разложение целых чисел уже в комплексном случае, то это свойство - единственность - сохранится. Однако это не так.

Примечательно, что если рассматривать только m + i n, то разложение единственно. Такие числа называются гауссовыми. Но для работы Ламе и Коши потребовалось разложение на множители в циклотомических полях . Это, например, числа, в которых m и n - рациональные, а i удовлетворяет свойству i^k = 1.

4.

Теорема Ферма для n = 3 имеет понятный геометрический смысл. Представим себе, что у нас есть много маленьких кубиков. Пусть мы собрали из них два больших куба. В этом случае, понятное дело, стороны будут целыми числами. Можно ли найти два таких больших куба, что, разобрав их на составляющие мелкие кубы, мы бы могли собрать из них один большой куб? Теорема Ферма говорит, что так сделать никогда нельзя. Забавно, что если задать тот же вопрос для трех кубов, то ответ утвердительный. Например, есть вот такая четверка чисел, открытая замечательным математиком Шринивасом Рамануджаном:

3 3 + 4 3 + 5 3 = 6 3

5.

В истории с теоремой Ферма отметился Леонард Эйлер. Доказать утверждение (или даже подступиться к доказательству) у него толком не получилось, однако он сформулировал гипотезу о том, что уравнение

x 4 + y 4 + z 4 = u 4

не имеет решения в целых числах. Все попытки найти решение такого уравнения в лоб оказались безрезультатны. Только в 1988 году Науму Элкиесу из Гарварда удалось найти контрпример. Он выглядит вот так:

2 682 440 4 + 15 365 639 4 + 18 796 760 4 = 20 615 673 4 .

Обычно эту формулу вспоминают в контексте численного эксперимента. Как правило, в математике это выглядит так: есть некоторая формула. Математик проверяет эту формулу в простых случаях, убеждается в истинности и формулирует некоторую гипотезу. Затем он (хотя чаще какой-нибудь его аспирант или студент) пишет программу для того, чтобы проверить, что формула верна для достаточно больших чисел, которые руками не посчитать (про один такой эксперимент с простыми числами мы ). Это не доказательство, конечно, но отличный повод заявить о гипотезе. Все эти построения базируются на разумном предположении, что, если к некоторой разумной формуле есть контрпример, то мы найдем его достаточно быстро.

Гипотеза Эйлера напоминает, что жизнь гораздо разнообразнее наших фантазий: первый контрпример может быть сколь угодно большим.

6.

На самом деле, конечно, Эндрю Уайлз не пытался доказать теорему Ферма - он решал более сложную задачу под названием гипотеза Таниямы-Шимуры. В математике есть два замечательных класса объектов. Первый называется модулярными формами и представляет собой по сути функции на пространстве Лобачевского. Эти функции не меняются при движениях этой самой плоскости. Второй называется «эллиптическими кривыми и представляет собой кривые, задаваемые уравнением третьей степени на комплексной плоскости. Оба объекта очень популярны в теории чисел.

В 50-х годах прошлого века два талантливых математика Ютака Танияма и Горо Шимура познакомились в библиотеке Токийского университета. В то время особой математики в университете не было: она просто не успела восстановиться после войны. В результате ученые занимались по старым учебникам и разбирали на семинарах задачи, которые в Европе и США считались решенными и не особенно актуальными. Именно Танияма и Шимура обнаружили, что между модулярными формами и эллиптическими функциями есть некое соответствие.

Свою гипотезу они проверили на некоторых простых классах кривых. Оказалось, что она работает. Вот они и предположили, что эта связь есть всегда. Так появилась гипотеза Таниямы-Шимуры, а спустя три года Танияма покончил с собой. В 1984 году немецкий математик Герхард Фрей показал, что если теорема Ферма неверна, то, следовательно, неверна гипотеза Таниямы-Шимуры. Из этого вытекало, что доказавший эту гипотезу, докажет и теорему. Именно это и сделал - правда не совсем в общем виде - Уайлз.

7.

На доказательство гипотезы Уайлз потратил восемь лет. И во время проверки рецензенты нашли в ней ошибку, которая «убивала» большую часть доказательства, сводя на нет все годы работы. Один из рецензентов по имени Ричард Тейлор взялся заделать вместе с Уайлзом эту дырку. Пока они работали, появилось сообщение, что Элкиес, тот самый, который нашел контрпример к гипотезе Эйлера, нашел и контрпример и к теореме Ферма (позже оказалось, что это была первоапрельская шутка). Уайлз впал в депрессию и не хотел продолжать - дырка в доказательстве никак не закрывалась. Тейлор уговорил Уайлза побороться еще месяц.

Случилось чудо и к концу лета математикам удалось сделать прорыв - так на свет появились работы «Модулярные эллиптические кривые и великая теорема Ферма» Эндрю Уайлза (pdf) и «Теоретико-кольцевые свойства некоторых алгебр Гекке» Ричарда Тейлора и Эндрю Уайлза. Это было уже правильное доказательство. Опубликовано оно было в 1995 году.

8.

В 1908 году в Дармштадте скончался математик Пауль Вольфскель. После себя он оставил завещание, в котором давал математическому сообществу 99 лет, чтобы найти доказательство великой теоремы Ферма. Автор доказательства должен был получить 100 тысяч марок (автор контрпримера, кстати, не получил бы ничего). Согласно распространенной легенде, сделать такой подарок математикам Вольфскеля побудила любовь. Вот как описывает легенду Саймон Сингх в своей книге «Великая теорема Ферма »:

История начинается с того, что Вольфскель увлекся красивой женщиной, личность которой так никогда и не была установлена. К великому сожалению для Вольфскеля, загадочная женщина отвергла его. Он впал в такое глубокое отчаяние, что решил совершить самоубийство. Вольфскель был человеком страстным, но не импульсивным, и поэтому принялся во всех подробностях разрабатывать свою смерть. Он назначил дату своего самоубийства и решил выстрелить себе в голову с первым ударом часов ровно в полночь. За оставшиеся дни Вольфскель решил привести в порядок свои дела, которые шли великолепно, а в последний день составил завещание и написал письма близким друзьям и родственникам.

Вольфскель трудился с таким усердием, что закончил все свои дела до полуночи и, чтобы как-нибудь заполнить оставшиеся часы, отправился в библиотеку, где стал просматривать математические журналы. Вскоре ему на глаза попалась классическая статья Куммера, в которой тот объяснял, почему потерпели неудачу Коши и Ламе. Работа Куммера принадлежала к числу самых значительных математических публикаций своего века и как нельзя лучше подходила для чтения математику, задумавшему совершить самоубийство. Вольфскель внимательно, строка за строкой, проследил за выкладками Куммера. Неожиданно Вольфскелю показалось, что он обнаружил пробел: автор сделал некое предположение и не обосновал этот шаг в своих рассуждениях. Вольфскель заинтересовался, действительно ли ему удалось обнаружить серьезный пробел, или сделанное Куммером предположение было обоснованным. Если был обнаружен пробел, то имелся шанс, что Великую теорему Ферма удастся доказать гораздо проще, чем полагали многие.

Вольфскель сел за стол, тщательно проанализировал «ущербную» часть рассуждений Куммера и принялся набрасывать минидоказательство, которое должно было либо подкрепить работу Куммера, либо продемонстрировать ошибочность принятого им предположения и, как следствие, опровергнуть все его доводы. К рассвету Вольфскель закончил свои вычисления. Плохие (с точки зрения математики) новости состояли в том, что доказательство Куммера удалось исцелить, и Великая теорема Ферма по-прежнему осталась недоступной. Но были и хорошие новости: время, назначенное для самоубийства, миновало, а Вольфскель был так горд тем, что ему удалось обнаружить и восполнить пробел в работе великого Эрнеста Куммера, что его отчаяние и печаль развеялись сами собой. Математика вернула ему жажду жизни.

Впрочем, есть и альтернативная версия. Согласно ей, Вольфскель занялся математикой (и, собственно, теоремой Ферма) из-за прогрессирующего рассеянного склероза, который помешал заниматься ему любимым делом - быть врачом. А деньги математикам он оставил, чтобы не оставлять своей жене, которую к концу жизни просто ненавидел.

9.

Попытки доказать теорему Ферма элементарными методами привели к появлению целого класса странных людей под названием «ферматисты». Они занимались тем, что производили огромное количество доказательств и совершенно не отчаивались, когда в этих доказательствах находили ошибку.

На мехмате МГУ был легендарный персонаж по фамилии Добрецов. Он собирал справки из разных ведомств и, пользуясь ими, проникал на мехмат. Делалось это исключительно для того, чтобы найти жертву. Как-то ему попался молодой аспирант (будущий академик Новиков). Он, по наивности своей, принялся внимательно изучать стопку бумаг, которую Добрецов подсунул ему со словами, мол, вот доказательство. После очередного «вот ошибка...» Добрецов забрал стопку, запихнул ее в портфель. Из второго портфеля (да, он ходил по мехмату с двумя портфелями) он достал вторую стопку, вздохнул и сказал: «Ну тогда посмотрим вариант 7 Б».

Кстати, большинство таких доказательств начинается с фразы «Перенесем одно из слагаемых в правую часть равенства и разложим на множители».

10.

Рассказ о теореме будет неполон без замечательного фильма «Математик и черт».

Поправка

В разделе 7 этой статьи первоначально говорилось, что Наум Элкиес нашел контрпример к теореме Ферма, который впоследствии оказался ошибочным. Это неверно: сообщение о контрпримере было первоапрельской шуткой. Приносим извинения за неточность.

Андрей Коняев

Поскольку мало кто владеет математическим мышлением, то я расскажу о наикрупнейшем научном открытии – элементарном доказательстве Великой теоремы Ферма – на самом понятном, школьном, языке.

Доказательство было найдено для частного случая (для простой степени n>2), к которому (и к случаю n=4) легко сводятся и все случаи с составным n.

Итак, нужно доказать, что уравнение A^n=C^n-B^n решения в целых числах не имеет. (Здесь значок ^ означает степень.)

Доказательство проводится в системе счисления с простым основанием n. В этом случае в каждой таблице умножения последние цифры не повторяются. В обычной, десятичой системе, ситуация иная. Например, при умножении числа 2 и на 1, и на 6 оба произведения – 2 и 12 – оканчиваются на одинаковые цифры (2). А, например, в семеричной системе для цифры 2 все последние цифры разные: 0х2=...0, 1х2=...2, 2х2=...4, 3х2=...6, 4х2=...1, 5х2=...3, 6х2=...5, с набором последних цифр 0, 2, 4, 6, 1, 3, 5.

Благодаря этому свойству для любого числа А, не оканчивающегося на ноль (а в равенстве Ферма последняя цифра чисел А, ну или В, после деления равенства на общий делитель чисел А, В, С нулю не равна), можно подобрать такое множитель g, что число Аg будет иметь сколь угодно длинное окончание вида 000...001. Вот на такое число g мы и умножим все числа-основания A, B, C в равенстве Ферма. При этом единичное окончание сделаем достаточно длинным, а именно на две цифры длиннее, чем число (k) нулей на конце числа U=А+В-С.

Число U нулю не равно – иначе С=А+В и A^n<(А+В)^n-B^n, т.е. равенство Ферма является неравенством.

Вот, собственно, и вся подготовка равенства Ферма для краткого и завершающего исследования. Единственное, что мы еще сделаем: перепишем правую часть равенства Ферма – C^n-B^n, – используя школьную формулу разложения: C^n-B^n=(С-В)Р, или аР. А поскольку далее мы будем оперировать (умножать и складывать) только с цифрами (k+2)-значных окончаний чисел А, В, С, то их головные части можем в расчет не принимать и просто их отбросить (оставив в памяти лишь один факт: левая часть равенства Ферма является СТЕПЕНЬЮ).

Единственное, о чем стоит сказать еще, это о последних цифрах чисел а и Р. В исходном равенстве Ферма число Р оканчивается на цифру 1. Это следует из формулы малой теоремы Ферма, которую можно найти в справочниках. А после умножения равенства Ферма на число g^n число Р умножатеся на число g в степени n-1, которое, согласно малой теореме Ферма, также оканчивается на цифру 1. Так что и в новом эквивалентном равенстве Ферма число Р оканчивается на 1. И если А оканчивается на 1, то и A^n тоже оканчивается на 1 и, следовательно, число а тоже оканчивается на 1.

Итак, мы имеем стартовую ситуацию: последние цифры А", а", Р" чисел А, а, Р оканчиваются на цифру 1.

Ну а дальше начинается милая и увлекательная операция, называемая в преферансе «мельницей»: вводя в рассмотрение последующие цифры а"", а""" и так далее числа а, мы исключительно «легко» вычисляем, что все они также равны нулю! Слово «легко» я взял в кавычки, ибо ключ к этому «легко» человечество не могло найти в течение 350 лет! А ключик действительно оказался неожиданно и ошарашивающе примитивным: число Р нужно представить в виде P=q^(n-1)+Qn^(k+2). На второй член в этой сумме обращить внимание не стоит – ведь в дальнейшем доказательстве мы все цифры после (k+2)-й в числах отбросили (и это кардинально облегчает анализ)! Так что после отбрасывания головных частей чисел равенство Ферма принимает вид: ...1=аq^(n-1), где а и q – не числа, а всего лишь окончания чисел а и q! (Новые обозначения не ввожу, так это затрудняет чтение.)

Остается последний философский вопрос: почему число Р можно представить в виде P=q^(n-1)+Qn^(k+2)? Ответ простой: потому что любое целое число Р с 1 на конце можно представить в таком виде, причем ТОЖДЕСТВЕННО. (Можно представить и многими другими способами, но нам это не нужно.) Действительно, для Р=1 ответ очевиден: P=1^(n-1). Для Р=hn+1 число q=(n-h)n+1, в чем легко убедиться, решая уравнение [(n-h)n+1]^(n-1)==hn+1 по двузначным окончаниям. И так далее (но в дальнейших вычислениях у нас необходимости нет, так как нам понадобится представление лишь чисел вида Р=1+Qn^t).

Уф-ф-ф-ф! Ну вот, философия кончилась, можно перейти к вычислениям на уровне второго класса, разве что лишь еще раз вспомнить формулу бинома Ньютона.

Итак, введем в расмотрение цифру а"" (в числе а=а""n+1) и с ее помощью вычислим цифру q"" (в числе q=q""n+1):
...01=(а""n+1)(q""n+1)^(n-1), или...01=(а""n+1)[(n-q"")n+1], откуда q""=a"".

И теперь правую часть равенства Ферма можно переписать в виде:
A^n=(а""n+1)^n+Dn^(k+2), где значение числа D нас не интересует.

А вот теперь мы переходим к решающему выводу. Число а""n+1 является двузначным окончанием числа А и, СЛЕДОВАТЕЛЬНО, согласно простой лемме ОДНОЗНАЧНО определяет ТРЕТЬЮ цифру степени A^n. И более того, из разложения бинома Ньютона
(а""n+1)^n, учитывая, что к каждому члену разложения (кроме первого, что погоды изменить уже не может!) присоединяется ПРОСТОЙ сомножитель n (основание счисления!), видно, что эта третья цифра равна а"". Но с помощью умножения равенства Ферма на g^n мы k+1 цифру перед последней 1 в числе А превратили в 0. И, следовательно, а""=0!!!

Тем самым мы завершили цикл: введя а"", мы нашли, что и q""=а"", а в заключение и а""=0!

Ну и остается сказать, что проведя совершенно аналогичные вычисления и последующих k цифр, мы получаем заключительное равенство: (k+2)-значное окончание числа а, или С-В, – так же, как и числа А, – равно 1. Но тогда (k+2)-я цифра числа С-А-В РАВНА нулю, в то время как она нулю НЕ РАВНА!!!

Вот, собственно, и всё доказательство. Для его понимания вовсе не требуется иметь высшее образование и, тем более, быть профессиональным математиком. Тем не менее, профессионалы помалкивают...

Удобочитаемый текст полного доказательства расположен здесь:

Рецензии

Здравствуйте, Виктор. Мне понравилось Ваше резюме. "Не позволить умереть раньше смерти" - здорово, конечно, звучит. От встречи на Прозе с теоремой Ферма, честно говоря, обалдела! Разве ей здесь место? Есть научные, научно-популярные и чайниковые сайты. А в остальном, спасибо за Вашу литературную работу.
С уважением, Аня.

Уважаемая Аня, несмотря на довольно жесткую цензуру, Проза позволяет писать ОБО ВСЕМ. С теоремой Ферма положение таково: крупные математические форумы к ферматистам относятся косо, с хамством и в целом третируют, как могут. Однако на мелких российских, английских и французских форумах я последний вариант доказательства представил. Никаких контрдоводов никто пока не выдвинул, да и, уверен, не выдвинет (доказательство проверено весьма тщательно). В субботу опубликую философскую заметку о теореме.
На прозе почти нет хамов, и если с ними не якшаться, то довольно скоро они отлипают.
На Прозе представлены почти все мои работы, поэтому и доказательство также поместил сюда.
До скорого,

В 17 веке во Франции жил юрист и по совместительству математик Пьер Ферма , который отдавал своему увлечению долгие часы досуга. Как-то зимним вечером, сидя у камина, он выдвинул одно прелюбопытнейшее утверждение из области теории чисел – именно оно в дальнейшем было названо Великой или Большой теоремой Ферма. Возможно, ажиотаж не был бы настолько весомым в математических кругах, не случись одно событие. Математик часто проводил вечера за штудированием любимой книги Диофанта Александрийского «Арифметика» (3 век), при этом записывал на ее полях важные мысли – этот раритет бережно сохранил для потомков его сын. Так вот, на широких полях этой книги рукой Ферма была оставлена такая надпись: «У меня есть довольно поразительное доказательство, но оно слишком большое, чтобы его можно было поместить на полях». Именно эта запись стала причиной ошеломительного ажиотажа вокруг теоремы. У математиков не вызывало сомнений, что великий ученый заявил о том, что доказал собственную теорему. Вы наверняка задаетесь вопросом: «Неужели он на самом деле ее доказал, или это была банальная ложь, а может есть другие версии, зачем эта запись, не дававшая умиротворенно спать математикам последующих поколений, оказалась на полях книги?».

Суть Великой теоремы

Довольно известная теорема Ферма проста по своей сути и заключается в том, что при условии, когда n больше двойки, положительного числа, уравнение Х n +Y n =Z n не будет иметь решений нулевого типа в рамках натуральных чисел. В этой с виду простой формуле была замаскирована невероятная сложность, и на ее доказательством бились целых три века. Есть одна странность – теорема опоздала с рождением на свет, так как ее частный случай при n=2 появился еще 2200 лет тому назад – это не менее знаменитая теорема Пифагора.

Необходимо отметить, что история, касающаяся всем известной теоремы Ферма, является очень поучительной и занимательной, причем не только для ученых-математиков. Что самое интересное, так это то, что наука являлась для ученого не работой, а простым хобби, которое в свою очередь, доставляла Фермеру огромное удовольствие. Также он постоянно поддерживал связь с ученым-математиком, а по совместительству, еще и другом, делился идеями, но как ни странно, собственные работы опубликовывать в свет не стремился.

Труды математика Фермера

Что касается самих работ Фермера, то их обнаружили именно в форме обычных писем. Местами не было целых страниц, и сохранились лишь обрывки переписок. Более интересен тот факт, что на протяжении трех веков ученые искали ту теорему, которая была обнаружена в трудах Фермера.

Но кто бы не решался ее доказать, попытки сводились к «нулю». Известный математик Декарт и вовсе обвинял ученого в хвастовстве, но все это сводилось лишь к самой обычной зависти. Помимо создания, Фермер еще и доказал собственную теорему. Правда решение было найдено для того случая, где n=4. Что касается случая для n=3, то его выявил математик Эйлер.

Как пытались доказать теорему Фермера

В самом начале 19 века данная теорема продолжила свое существование. Математики нашли много доказательств теорем, которые ограничивались натуральными числами в пределах двухсот.

А в 1909 году была поставлена на кон довольно крупная сумма, равная ста тысячам маркам немецкого происхождения – и все это только лишь за то, чтобы решить вопрос, связанный с этой теоремой. Сам фонд призовой категории был оставлен богатым любителем математики Паулем Вольфскелем, родом из Германии, кстати, именно он хотел «наложить на себя руки», но благодаря такой вовлеченности в теорему Фермера, захотел жить. Возникший ажиотаж породил тонны «доказательств», заполонивших германские университеты, а в кругу математиков родилось прозвище «фермист», которым полупрезрительно называли всякого амбициозного выскочку, не сумевшего привести явные доказательства.

Гипотеза японского математика Ютаки Танияма

Сдвигов в истории Великой теоремы до середины 20 столетия так и не наблюдалось, но одно занимательное событие все-таки произошло. В 1955 году математик из Японии Ютака Танияма, которому было 28 лет, явил миру утверждение из абсолютно другой математической области – его гипотеза в отличие от Ферма опередило свое время. Она гласит: «Каждой эллиптической кривой соответствует определенная модулярная форма». Вроде бы абсурд для каждого математика, подобно, что дерево состоит из определенного металла! Парадоксальную гипотезу, как и большинство прочих ошеломляющих и гениальных открытий, не приняли, так как еще попросту не доросли до нее. И Ютака Танияма покончил жизнь самоубийством, спустя три года – поступок необъяснимый, но, вероятно, честь для истинного гения-самурая была превыше всего.

Целое десятилетие о гипотезе не вспоминали, но в семидесятые она поднялась на пик популярности – ее подтверждали все, кто мог в ней разобраться, но, как и теорема Ферма, она оставалась недоказанной.

Как связаны гипотеза Таниямы и теорема Ферма

Спустя 15 лет в математике произошло ключевое событие, и оно объединило гипотезу прославленного японца и теорему Ферма. Герхард Грей заявил, что когда будет доказана гипотеза Танияма, тогда и найдутся доказательства теоремы Ферма. То есть последняя – это следствие гипотезы Танияма, и уже через полтора года профессором университета в Калифорнии Кеннетом Рибетом теорема Ферма была доказана.

Шло время, регресс заменялся прогрессом, а наука стремительно продвигалась вперед, особенно в области компьютерных технологий. Таким образом, значение n стало все больше повышаться.

В самом конце 20 века самые мощные компьютеры находились в лабораториях военного направления, было осуществлено программирование на вывод решения задачи всем известного Ферма. Как следствие всем попыткам было выявлено то, что данная теорема правильная для многих значений n, x, y. Но, к сожалению, окончательным доказательством это не стало, так как не было конкретики как таковой.

Джон Уайлс доказал великую Теорему Ферма

И вот, наконец, только в конце 1994 года, математик из Англии, Джон Уайлс нашел и продемонстрировал точное доказательство спорной теоремы Фермера. Тогда, после множества доработок, дискуссии по этому поводу пришли к своему логическому завершению.

Опровержение было размещено на более ста страницах одного журнала! Причем теорема была доказана на более современном аппарате высшей математики. И что удивительно, на тот момент, когда Фермер писал свой труд, такого аппарата в природе не существовало. Словом, человек был признан гением в этой области, с чем поспорить не мог никто. Несмотря на все что было, на сегодняшний день можно быть уверенными в том, что представленная теорема великого ученого Фермера оправдана и доказана, и споры и на эту тему не заведет ни одни математик со здравым смыслом, с чем согласны даже самые заядлые скептики всего человечества.

Полное имя человека, в честь которого была названа представленная теорема, звали Пьер де Фермер. Он внес свой вклад в самые разнообразные области математики. Но, к сожалению, большинство его трудов были опубликованы только после его смерти.